Resolução de Limites Sem Derivadas

Objetivo

Este documento serve para descrever passo a passo a resolução de cinco limites matemáticos sem recorrer à aplicação de derivadas, apenas utilizando as regras de limites.

Exercícios

Exercício 1

Resolver o limite de: [ \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^2 - 49} ] com ( x ) tendendo para 7.

• Passos:
  • Substituição direta para verificar indeterminação.
  • Identificou-se uma indeterminação do tipo (\frac{0}{0}).
  • Utilizou-se o método de multiplicar pelo conjugado para resolver a indeterminação.
  • Simplificação se mostrou eficiente, levando a um resultado final de (-\frac{1}{56}).

Exercício 2

Limite de: [ \frac{3 - \sqrt{5 + x}}{1 - \sqrt{5 - x}} ] com ( x ) tendendo para 4.

• Passos:
  • Substituição identificada com indeterminação do tipo (\frac{0}{0}).
  • Multiplicação pelo conjugado executada tanto no numerador quanto no denominador.
  • A simplificação levou ao resultado (-\frac{1}{3}).

Exercício 3

Limite de: [ (1 + \frac{2n + 3}{n + 4})^n ] com ( n ) tendendo para o infinito.

• Passos:
  • Identificar que existe uma expressão de tipo (1^∞), mas a se trata na realidade do limite de uma função contínua.
  • Usou-se a propriedade limite para resolver a parte exponencial.
  • Após simplificação se alcançou o infinito como resposta final.

Exercício 4

Limite de: [ \frac{1/(1-x) - 3/(1-x^3)} ] com ( x ) tendendo para 1.

• Passos:
  • Indeterminação identificada como (∞ - ∞).
  • Efetuou-se o MMC para igualar os denominadores.
  • Foi aplicada a identidade de cubo de diferença para facilitar a simplificação.
  • O resultado foi trabalhado até obter finalmente (-1).

Exercício 5

Limite de: [ \frac{x^2(a - x) + a}{a^3 - x^3} ] com ( x ) tendendo para ( a ).

• Passos:
  • Indeterminação ( \frac{0}{0} ) observada.
  • Realizou-se a fatoração do numerador.
  • Aproveitando a identidade de cubos, simplificou-se para resolver a expressão final, resultando em: [ \frac{a - 1}{3a^2} ]

Conclusão

Esses exercícios demonstram que resolver limites sem derivadas, aplicando apenas propriedades de álgebra e limites, pode ser direto, desde que se entenda as técnicas corretas de manipulação algébrica e identidades notáveis.